Question

【题目】如图，，，点在边上，．

（1）求证：；

（2）若，求的度数；

（3）若，当的外心在直线上时，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）结合已知，要证明还少一个条件，可以在和中结合对顶角和三角形内角和得到，进一步得到，即可证明.

（2）第（1）题已经证明，再根据，得到，所以在等腰求即可.

（3）根据“直角圆周角所对的弦为直径” 且的外心在直线上，则与的交点即为的外心，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，故是等边三角形，再用特殊角的三角函数求即可.

解：（1）∵和相交于点，

∴．

又∵在和中，，

∴．

又∵，

∴，

∴，即．

在和中，

，

∴．

（2）∵

∴

又∵

∴

∴

∴

（3）∵，且的外心在直线上

∴点是的外心（或是中点）

∴

又∵

∴是等边三角形

∴

在中，

∴