题目内容

观察下列各式及其验证过程
①2
2
3
=
2+
2
3
;验证:2
2
3
=
23
3
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

②3
3
8
=
3+
3
8
;验证:3
3
8
=
33
8
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

(1)参照上述等式及其验证过程的基本思路,猜想:5
5
24
=
 

(2)针对上述各式所反映的一般规律,请你猜想出用n(n为自然数,且n≥2)表示的等式,并给出验证.
分析:(1)观察题干中式子可知5
4
25
=
5+ 
4
25

(2)由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1

故根据上述规律可知n
n
n2 -1
n+ 
n
n2 -1
,把二次根式外面的因式移到根号里面,变形即可.
解答:解:(1)总结规律可知
4
25
=
5+ 
5
24

(2)由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1

故根据上述规律可知:n
n
n2 -1
n+ 
n
n2 -1
(n为自然数,且n≥2).
验证:n
n
n2-1
=
n3
n2-1
=
n3-n+n
n2-1
=
n+
n
n2-1

故结论成立.
点评:此题是一个找规律的题目,有一定难度,主要考查了算术平方根及二次根式的性质.观察时,既要注意观察等式的左右两边的联系,还要注意右边必须是一种特殊形式.
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