Question

如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x²－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.

（1）求出点A、点B的坐标.
（2）请求出直线CD的解析式.
（3）若点M为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD的解析式:y_CD=－2x+7;（3）存在，P₁(－5.5 , 3),P₂(9.5 , 3),P₃(－2.5 , －3)．

试题分析：（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A，B的坐标；
（2）首先利用角之间的关系得出△BOA∽△COD，即可得出D点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）先求出P点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD时M在第三象限分别分析直接得出答案．
试题解析：(1)∵ 
∴
∵OA、OB为方程的两个根，且OA＜OB
∴OA=2，OB=4,
∴ A(0,2)，B(－4,0),
(2)∵OA:AC=2:5
∴ AC=5
∴OC=OA+AC=2+5=7
∴ C(0,7),
∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90^O
∴∠PBD=∠OCD
∵∠ BOA=∠COD=90^O
∴△BOA∽△COD
∴=
∴ OD===,
∴D(,0)
设直线CD的解析式为 
把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：

∴,
∴y_CD=－2x+7,
(3)存在，P₁(－5.5,3),P₂(9.5,3),P₃(－2.5,－3)．