题目内容
【题目】将一个直角三角形纸板ABC放置在锐角△PMN上，使该直角三角形纸板的两条直角边AB，AC分别经过点M，N．
（发现）
（1）如图1，若点A在△PMN内，当∠P=30°时，则∠PMN+∠PNM=______°，∠AMN+∠ANM=______°，∠PMA+∠PNA=______°．
（2）如图2，若点A在△PMN内，当∠P=50°时，∠PMA+∠PNA=______°．
（探究）
（3）若点A在△PMN内，请你判断∠PMA，∠PNA和∠P之间满足怎样的数量关系，并写出理由．
（应用）
（4）如图3，点A在△PMN内，过点P作直线EF∥AB，若∠PNA=16°，则∠NPE=______．
【答案】（1）150，90，60；（2）40；（3）∠PMA+PNA+∠P=90°；（4）106°
【解析】
（1）先判断出∠AMN+∠ANM=90°，进而得出∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可得出结论；
（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，进而求出∠PMA+∠MPN=74°，即可求出∠FPM+∠MPN=74°，最后用平角的定义即可得出结论．
解：（1）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，
在△PMN中，∠P=30°，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=150°，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=150°-90°=60°，
故答案为：150，90，60；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，∠P=50°，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=130°，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=130°，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=130°-90°=40°，
故答案为40；
（3）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=180°-∠P，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=180°-∠P-90°=90°-∠P，
即：∠PMA+PNA+∠P=90°，
（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，
∵∠PNA=16°，
∴∠PMA+∠MPN=90°-∠PNA=74°，
∵EF∥AB，
∴∠PMA=∠FPM，
∴∠FPM+∠MPN=74°，
即：∠FPN=74°，
∴∠NPE=180°-∠FPN=106°，
故答案为：106°．
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