题目内容

【题目】如图,已知直角梯形OABC的边OAy轴的正半轴上,OCx轴的正半轴上,OAAB=2,OC=3,过点BBDBC,交OA于点D.将DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于EF

(1)求经过ABC三点的抛物线的解析式;

(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;

(3)连结EF,设BEFBFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.

【答案】1y=﹣+x+2;(2;(3)当a=2(在0a3范围内)时,S最小值=

【解析】试题分析:(1)根据OAABOC的长,即可得到ABC三点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;

2)此题要通过构造全等三角形求解;过BBM⊥x轴于M,由于∠EBF是由∠DBC旋转而得,所以这两角都是直角,那么∠EBF=∠ABM=90°,根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM;易知BM=OA=AB=2,由此可证得△FBM≌△EBA,则AE=FMCM的长易求得,关键是FMAE的长;设抛物线的顶点为G,由于G点在线段AB的垂直平分线上,若过GGH⊥AB,则GH△ABE的中位线,G点的坐标易求得,即可得到GH的长,从而可求出AE的长,即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长;

3)由(2)的全等三角形易证得BE=BF,则△BEF是等腰直角三角形,其面积为BF平方的一半;△BFC中,以CF为底,BM为高即可求出△BFC的面积;可设CF的长为a,进而表示出FM的长,由勾股定理即可求得BF的平方,根据上面得出的两个三角形的面积计算方法,即可得到关于Sa的函数关系式,根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长.

解:(1)由题意可得A02),B22),C30),

设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca≠0),

解得

抛物线的解析式为y=﹣+x+2

2)设抛物线的顶点为G

G1),过点GGH⊥AB,垂足为H

AH=BH=1GH=﹣2=

∵EA⊥ABGH⊥AB

∴EA∥GH

∴GH△BEA的中位线,

∴EA=2GH=

过点BBM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB

∵∠EBF=∠ABM=90°

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF

∴Rt△EBA≌Rt△FBM

∴FM=EA=

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1

∴CF=FM+CM=

3)设CF=a,则FM=a﹣1

∴BF2=FM2+BM2=a﹣12+22=a2﹣2a+5

∵△EBA≌△FBM

∴BE=BF

SBEF=BEBF=a2﹣2a+5),

∵SBFC=FCBM=×a×2=a

∴S=a2﹣2a+5﹣a=a2﹣2a+

S=a﹣22+

a=2(在0a3范围内)时,S最小值=

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