题目内容
【题目】如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
【答案】(1)y=﹣+x+2;(2);(3)当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=.
【解析】试题分析:(1)根据OA、AB、OC的长,即可得到A、B、C三点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)此题要通过构造全等三角形求解;过B作BM⊥x轴于M,由于∠EBF是由∠DBC旋转而得,所以这两角都是直角,那么∠EBF=∠ABM=90°,根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM;易知BM=OA=AB=2,由此可证得△FBM≌△EBA,则AE=FM;CM的长易求得,关键是FM即AE的长;设抛物线的顶点为G,由于G点在线段AB的垂直平分线上,若过G作GH⊥AB,则GH是△ABE的中位线,G点的坐标易求得,即可得到GH的长,从而可求出AE的长,即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长;
(3)由(2)的全等三角形易证得BE=BF,则△BEF是等腰直角三角形,其面积为BF平方的一半;△BFC中,以CF为底,BM为高即可求出△BFC的面积;可设CF的长为a,进而表示出FM的长,由勾股定理即可求得BF的平方,根据上面得出的两个三角形的面积计算方法,即可得到关于S、a的函数关系式,根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长.
解:(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则,
解得;
∴抛物线的解析式为y=﹣+x+2;
(2)设抛物线的顶点为G,
则G(1,),过点G作GH⊥AB,垂足为H,
则AH=BH=1,GH=﹣2=;
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH;
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=;
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB;
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA=;
∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1,
∴CF=FM+CM=;
(3)设CF=a,则FM=a﹣1,
∴BF2=FM2+BM2=(a﹣1)2+22=a2﹣2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
则S△BEF=BEBF=(a2﹣2a+5),
又∵S△BFC=FCBM=×a×2=a,
∴S=(a2﹣2a+5)﹣a=a2﹣2a+,
即S=(a﹣2)2+;
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=.