题目内容

【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.

【答案】
(1)

解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),

解得:a=﹣ ,b=﹣ ,c=3,

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣ x2 x+3


(2)

解:在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:

∵OB=3,OC=4,OA=1,

∴BC=AC=5,

当BP平行且等于AC时,四边形ACBP为菱形,

∴BP=AC=5,且点P到x轴的距离等于OB,

∴点P的坐标为(5,3),

当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,则当点P的坐标为(5,3)时,以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形.


(3)

解:设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0),

∵A(1,0),P(5,3),

解得:k= ,b=﹣

∴直线PA的解析式为y= x﹣

当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,

当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,

∴当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,

解方程组 ,得

∴点M的坐标为(1,0)或(﹣5,﹣ )时,|PM﹣AM|的值最大,此时|PM﹣AM|的最大值为5.


【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值,即可确定出所求抛物线解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:根据OA,OB,OC的长,利用勾股定理求出BC与AC的长相等,只有当BP与AC平行且相等时,四边形ACBP为菱形,可得出BP的长,由OB的长确定出P的纵坐标,确定出P坐标,当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形;
    (3)利用待定系数法确定出直线PA解析式,当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,
当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,联立直线AP与抛物线解析式,求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标,确定出|PM﹣AM|的最大值即可.此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式,菱形的判定,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

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