题目内容

【题目】如图1,四边形ABCD是正方形,点EAB边的中点,以AE为边作正方形AEFG,连接DEBG

1)发现

①线段DEBG之间的数量关系是   

②直线DEBG之间的位置关系是   

2)探究

如图2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

3)应用

如图3,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周,记直线DEBG的交点为P,若AB=4,请直接写出点PCD所在直线距离的最大值和最小值.

【答案】1)发现:①DE=BG;②DEBG;(2)探究:(1)中的结论仍然成立,理由详见解析;(3)应用:点PCD所在直线距离的最大值是2+2,最小值是3

【解析】

(1)证明△AED≌△AGB可得出两个结论;

(2)①根据正方形的性质得出AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,求出∠EAD=∠GAB,根据SAS推出△EAD≌△GAB即可;

②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA,求出∠DHB=90°即可;

(3)先确定点PCD所在直线距离的最大值和最小值的位置,再根据图形求解.

解:(1)①线段DE、BG之间的数量关系是:DE=BG,

理由是:如图1,

四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BDA=90°,

∴∠BAG=∠BAD=90°,

四边形AEFG是正方形,

∴AE=AG,

∴△AED≌△AGB(SAS),

∴DE=BG;

直线DE、BG之间的位置关系是:DE⊥BG,

理由是:如图2,延长DEBGQ,

△AED≌△AGB得:∠ABG=∠ADE,

∵∠AED+∠ADE=90°,∠AED=∠BEQ,

∴∠BEQ+∠ABG=90°,

∴∠BQE=90°,

∴DE⊥BG;

故答案为:①DE=BG;②DE⊥BG;

(2)(1)中的结论仍然成立,理由是:

如图3,

四边形AEFG和四边形ABCD是正方形,

∴AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB,

△EAD△GAB中,

∴△EAD≌△GAB(SAS),

∴ED=GB;

②ED⊥GB,

理由是:∵△EAD≌△GAB,

∴∠GBA=∠EDA,

∵∠AMD+∠ADM=90°,∠BMH=∠AMD,

∴∠BMH+∠GBA=90°,

∴∠DHB=180°﹣90°=90°,

∴ED⊥GB;

(3)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周,即点EG在以A为圆心,以2为半径的圆上,过PPH⊥CDH,

PF重合时,此时PH最小,如图4,

Rt△AED中,AD=4,AE=2,

∴∠ADE=30°,DE==2

∴DF=DE﹣EF=2﹣2,

∵AD⊥CD,PH⊥CD,

∴AD∥PH,

∴∠DPH=∠ADE=30°,

∵cos30°==

∴PH=(2﹣2)=3﹣

②∵DE⊥BG,∠BAD=90°,

BD的中点O为圆心,以BD为直径作圆,P、A在圆上,

P的中点时,如图5,此时PH的值最大,

∵AB=AD=4,

由勾股定理得:BD=4

则半径OB=OP=2

∴PH=2+2

综上所述,点PCD所在直线距离的最大值是2+2,最小值是3﹣

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