题目内容
【题目】如图1,四边形ABCD是正方形,点E是AB边的中点,以AE为边作正方形AEFG,连接DE,BG.
(1)发现
①线段DE、BG之间的数量关系是 ;
②直线DE、BG之间的位置关系是 .
(2)探究
如图2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)应用
如图3,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周,记直线DE与BG的交点为P,若AB=4,请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值.
【答案】(1)发现:①DE=BG;②DE⊥BG;(2)探究:(1)中的结论仍然成立,理由详见解析;(3)应用:点P到CD所在直线距离的最大值是2+2,最小值是3﹣ .
【解析】
(1)证明△AED≌△AGB可得出两个结论;
(2)①根据正方形的性质得出AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,求出∠EAD=∠GAB,根据SAS推出△EAD≌△GAB即可;
②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA,求出∠DHB=90°即可;
(3)先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置,再根据图形求解.
解:(1)①线段DE、BG之间的数量关系是:DE=BG,
理由是:如图1,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BDA=90°,
∴∠BAG=∠BAD=90°,
∵四边形AEFG是正方形,
∴AE=AG,
∴△AED≌△AGB(SAS),
∴DE=BG;
②直线DE、BG之间的位置关系是:DE⊥BG,
理由是:如图2,延长DE交BG于Q,
由△AED≌△AGB得:∠ABG=∠ADE,
∵∠AED+∠ADE=90°,∠AED=∠BEQ,
∴∠BEQ+∠ABG=90°,
∴∠BQE=90°,
∴DE⊥BG;
故答案为:①DE=BG;②DE⊥BG;
(2)(1)中的结论仍然成立,理由是:
①如图3,
∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形,
∴AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB,
在△EAD和△GAB中,
,
∴△EAD≌△GAB(SAS),
∴ED=GB;
②ED⊥GB,
理由是:∵△EAD≌△GAB,
∴∠GBA=∠EDA,
∵∠AMD+∠ADM=90°,∠BMH=∠AMD,
∴∠BMH+∠GBA=90°,
∴∠DHB=180°﹣90°=90°,
∴ED⊥GB;
(3)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周,即点E和G在以A为圆心,以2为半径的圆上,过P作PH⊥CD于H,
①当P与F重合时,此时PH最小,如图4,
在Rt△AED中,AD=4,AE=2,
∴∠ADE=30°,DE==2,
∴DF=DE﹣EF=2﹣2,
∵AD⊥CD,PH⊥CD,
∴AD∥PH,
∴∠DPH=∠ADE=30°,
∵cos30°==,
∴PH=(2﹣2)=3﹣;
②∵DE⊥BG,∠BAD=90°,
∴以BD的中点O为圆心,以BD为直径作圆,P、A在圆上,
当P在的中点时,如图5,此时PH的值最大,
∵AB=AD=4,
由勾股定理得:BD=4,
则半径OB=OP=2,
∴PH=2+2.
综上所述,点P到CD所在直线距离的最大值是2+2,最小值是3﹣.