Question

如图，在正方形ABCD中，E为正方形ABCD内一点，且∠AEB=90°，tan∠BAE=

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，将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF、AC、CE，G为AE的中点，连接CG．有下列结论：
①△BEF为等腰直角三角形；②S_{正方形ABCD}=8S_△ECG；③∠ECB=∠CAG；④CG=AD．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据旋转的性质知，△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等证得结论；
②作辅助线AH构建正方形EHFB，然后结合已知条件“∠AEB=90°，tan∠BAE=

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”求得正方形ABCD的边长与△CGE的边长间的数量关系，从而求得正方形ABCD与△CEG的面积间的数量关系；
③根据正方形的对角线平分对角以及三角形外角定理证得结论；
④将CG、BC的长度转化为与线段BE的长度的关系，然后比较它们的长短．

解答：解：①根据旋转的性质知，△ABE≌△CBF，则BE=BF，所以△BEF为等腰直角三角形；故本选项正确；
②∵∠AEB=90°，tan∠BAE=

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，
∴AE=2BE．
又∵由①知，△ABE≌△CBF，
则BE=BF，AE=CF，∠CFB=∠AEB=90°，
∴BC=

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BF=

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BE．
∴S_{正方形ABCD}=BC²=5BE²．
延长AE交CF于点H．
易证四边形EHFB为正方形，则BE=EH=HF=FB，
∴CH=CF-FH=AE-BE=BE．
∵点G是AE的中点，
∴8S_△ECG=8×

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2

S_△ACE=8×

1

2

×

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2

AE•CH=2×2BE×BE=4BE²＜S_{正方形ABCD}，
故本选项错误；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ECB=45°-∠ACE．
∵CH=HF，EH⊥CF，
∴∠CEH=∠FEH．
又∵由②知四边形EHFB为正方形，则∠HEF=45°，
∴∠CEH=45°，
∴∠CAG=∠CAE=∠CEH-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠CAG；
故本选项正确；
④在直角△GCH中，CH=BE，GH=2BE，则根据勾股定理知CG=

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BE=BC，即CG=BC．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，
∴CG=AD．
故本选项正确；
综上所述，正确的个数有3个；
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及三角形面积的计算．注意，此题的辅助线的作法．