题目内容
【题目】如图,已知O为直线AB上的一点,CD⊥AB于点O,PO⊥OE于点O,OM平分∠COE,点F在OE的反向延长线上.
(1)当OP在∠BOC内,OE在∠BOD内时,如图①所示,直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系;
(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时,如图②所示,试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化?并说明理由.
【答案】(1)∠POM=∠COF,理由见解析;(2)∠POM=∠COF,理由见解析
【解析】
(1)利用垂直的定义,CD⊥AB,PO⊥EO,等量代换得∠COP=∠BOE,利用角平分线的性质,得∠POM=∠POB=(90°-∠POC),∠COF=90°-∠COP,得出结论;
(2)利用垂直的定义,同角的余角相等可得∠COP=∠AOF,可推出∠COP+∠COB=∠AOF+∠AOC,即∠BOP=∠COF,由对顶角相等得∠AOF=∠BOE=∠COP,利用角平分线的性质,得∠COP+∠COM=∠BOE+∠MOE,即∠POM=∠BOP,等量代换得出结论.
解:(1)∠POM=∠COF.
证明:∵CD⊥AB,
∴∠COP+∠BOP=90°,
∵OP⊥OE,
∴∠BOE+∠BOP=90°,
∴∠COP=∠BOE,
∵OM平分∠COE,
∴∠POM=∠MOB=∠POB= (90°∠POC),
∵∠COF=90°∠COP,
∴∠POM=∠COF;
(2)不发生变化.理由:∵CD⊥AB于点O,
∴∠AOP+∠COP=90°.
∵PO⊥OE于点O,
∴∠AOP+∠AOF=90°,
∴∠COP=∠AOF.
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴∠COP+∠COB=∠AOF+∠AOC,
即∠BOP=∠COF.
∵∠AOF=∠BOE,∴∠COP=∠BOE.
∵OM平分∠COE,∴∠COM=∠MOE,
∴∠COP+∠COM=∠BOE+∠MOE,
∴∠POM=∠BOP,
∴∠POM=∠COF.
故答案为:(1)∠POM=∠COF,理由见解析;(2)∠POM=∠COF,理由见解析.