Question

已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是x₁，x₂，若y₁是关于x的函数，且y₁=mx-1，其中m=x₁x₂，求这个函数的解析式；
（3）设y₂=kx²+（3k+1）x+2k+1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0的整数．结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y₂＞y₁？

Answer 1

分析：（1）用根的判别式判断根的情况；
（2）用一元二次方程根与系数的关系，可以求出关于y₁解析式；
（3）根据已知方程只有整数根且k是小于0的整数确定出k的值，进而确定两个函数的解析式，求出两个函数的交点坐标，在坐标系中画出图象，再确定出y₂＞y₁时的x的取值范围．

解答：（1）证明：∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，
∴△=b²-4ac
=9k²+6k+1-4k（2k+1）
=9k²+6k+1-8k²-4k=k²+2k+1
=（k+1）²≥0，
∴方程必有两个实数根；

（2）解：∵方程的两个实数根分别是x₁，x₂，
∴x₁x₂=2+

1

k

，
而m=x₁x₂，y₁=mx-1，
∴y1=(2+

1

k

)x-1；

（3）解：∵方程只有整数根且k是小于0的整数，
∴x2=-2-

1

k

要为整数，只能

1

k

为整数，
∴k=-1，
∴y₂=-x²-2x-1，y₁=x-1，
∴y₁与y₂的交点坐标为A（-3，-4）B（0，-1），
∴在坐标系中画出两函数的图象如图所示，
由图象可知：
当-3＜x＜0时，y₂＞y₁．

点评：本题有一定的难度，先用到一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系来确定方程有根和函数的解析式，再求出了两函数的交点坐标，从而在坐标系中画出图象，确定出x的取值范围．