Question

已知关于x的一元二次方程x²-（8+k）x+8k=0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

Answer 1

分析：（1）先计算△=（8+k）²-4×8k，整理得到△=（k-8）²，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）先解出原方程的解为x₁=k，x₂=8，然后分类讨论：腰长为5时，则k=5；当底边为5时，则x₁=x₂，得到k=8，然后分别计算三角形的周长．

解答：解：（1）∵△=（8+k）²-4×8k
=（k-8）²，
∵（k-8）²，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解方程x²-（8+k）x+8k=0得x₁=k，x₂=8，
①当腰长为5时，则k=5，
∴周长=5+5+8=18；
②当底边为5时，
∴x₁=x₂，
∴k=8，
∴周长=8+8+5=21．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的2性质．