Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为⊙T的环绕点．

(1)当⊙O半径为1时，

①在中，⊙O的环绕点是___________;

②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；

（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①.②b的取值范围为或.（2）

【解析】

（1）①根据环绕点的定义及作图找到即可判断；

②当点B在y轴正半轴上时，根据环绕点的定义考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，与当点B经过半径为1的⊙O时，分别求出此时的OB的长，即可得到可得b的取值范围，再由点B在y轴负半轴上时同理可得b的取值；

（3）根据题意作出图形，求出OS与x轴正半轴的夹角为30°，得∠BOC=60°，图形H为射线OB与射线OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大），分当t≥0与t＜0时，根据环绕点的定义进行求解.

（1）①如图，

∵P1在圆上，故不是环绕点，

P2引圆两条切线的夹角为90°，满足，故为⊙O的环绕点

P3（0,2），∵P3O=2OM，∠P3MO=90°，∴∠MOP3=30°，

同理：∠NOP3=30°，∴，故为⊙O的环绕点

故填：；

②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.

ⅰ)当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示.

考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，；

当点B经过半径为1的⊙O时，OB=1.

因为线段AB上存在⊙O的环绕点，所以可得b的取值范围为 ；

②当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.

同理可得b的取值范围为 .

综上，b的取值范围为或.

（3）点记为S,设OS与x轴正半轴的夹角为a

∵tana=

∴a=30°，

如图，圆S与x轴相切，过O点作⊙S的切线OC，

∵OC、OB都是⊙S的切线

∴∠BOC=2∠SOB=60°，

当m取遍所有整数时 ，就形成图形H，

图形H为射线OB与射线OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大）

当t≥0时，过T作OC的垂线，垂足为M，当TM＞2时，图形H不存在环绕点，OT=2TM，故t≤4，

当t＜0时，图形H上的点到T的距离都大于OT,当OT≥2时，图形H不存在⊙T环绕点，因此t＞-2，

综上：.