Question

【题目】如图①，在等边三角形ABC中．D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC．连接AE.

（1）求证：△DBC≌△EAC
（2）试说明AE∥BC的理由．
（3）如图②，当图①中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，猜想是否仍有AE∥BC?若成立请证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=60 ， ∠DCE=60 ，
∴∠BCD=60 -∠ACD， ∠ACE=60 -∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC≌△EAC(SAS)
（2）解：∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60 ，
又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC
（3）解：仍有AE∥BC，
∵△ABC，△EDC都为等边三角形，
∴BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE=60 ，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC和△EAC(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60 ，
又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.
【解析】（1）根据已知条件△ABC和△EDC都是等边三角形，根据等边三角形的性质，得出边和角等于相等，再证明∠BCD=∠ACE，然后利用SAS证明△DBC≌△EAC即可。
（2）根据△DBC≌△EAC得出∠EAC=∠B=60 ° ，再利用等量代换证明∠EAC=∠ACB，然后根据平行线的判定即可证得结论。
（3）仍有AE∥BC，根据△ABC，△EDC都为等边三角形，得出BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE，再证明∠BCD=∠ACE，就可证明△DBC和△EAC，然后再证明∠EAC=∠ACB，即可证得AE∥BC。