Question

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．

Answer 1

解：作∠BAP的平分线交BC于M，作MN⊥AP，垂足为N，连接MP
∵AF是∠BAP的平分线，MN⊥AP，
∴∠BAM=∠MAP，
∠B=∠ANM=90°，AM=AM，
∴△ABM≌△ANM（AAS），
∴MB=MN，AB=AN，
∵AP=PC+CB=PC+AB，
又AP=AN+NP=AB+NP
∴NP=PC，
∵PM=PM，
∴Rt△PMN≌Rt△PMC（HL），
∴MN=MC，
∴MB=MC，
∴△ABM≌△ADQ（SAS），
∴∠QAD=∠BAM，
∴∠BAP=2∠QAD
分析：作∠BAC的平分线交BC于M，交DC的延长线于F，进而求证△ABM≌△ANM，进而可得△ABN≌△ADQ，Rt△PMN≌Rt△PMC，△ABM≌△ADQ进而可得出结论．
点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABM≌△ADQ是解题的关键．