题目内容
【题目】已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠
．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠
=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠
与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠
=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
【答案】（1）①EF、BE、AF的数量关系： 
(相关等式均可，证明详见解析； ②∠
与∠BCA关系：∠ 
+∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系： 
(相关等式均可) ，证明详见解析.
【解析】试题分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
试题解析：（1）①如图1中，.
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在△BEC和△CFA中，.
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
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