题目内容
【题目】已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．
（1）如图①求证：BE+DF＝EF；
（2）连接BD分别交AE、AF于M、N，
①如图②，若AB＝6
，BM＝3，求MN．
②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）①5；②证明见解析.
【解析】
（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠3＝∠2，AG＝AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE＝EF，所以DF+BE＝EF．
（2）①如图2，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM＝∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN＝M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2＝DN2+BM2；
②设正方形ABCD的边长为a，求出MN，EC即可判断；
（1）证明：证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图1），
∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3＝∠2，AG＝AF，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，
∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE＝EF，
∴DF+BE＝EF；
（2）①解：如图2，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABM＝∠ADN＝45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．
∴△ABM≌△ADM′（旋转不变性），
∴DM'＝BM，AM'＝AM，∠ADM'＝∠ABM＝45°，∠DAM'＝∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′＝45°+45°＝90°，
即∠NDM′＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠DAM′+∠DAF＝45°，
即∠M′AN＝45°，
∴∠M'AN＝∠MAN．
在△AMN和△AM′N中
，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴M'N＝MN．
∵∠NDM′＝90°，
∴M'N2＝DN2+DM'2，
∴MN2＝DN2+BM2；
设MN＝x，则DN＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
∴x2＝33+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴NM＝5；
②证明：如图3中，设正方形ABCD的边长为a．
∵EF∥BD，
∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE＝∠DAF＝22.5°，
∴∠AEB＝∠BME＝67.5°，
∴BM＝BE，同理可证：DN＝DF，
∴BM＝DN＝BE＝DF，设BM＝x，则MN＝
x，
∴2x+x＝a，
∴x＝（﹣1）a，
∴MN＝（2﹣）a，EC＝BC﹣BE＝（2﹣）a，
∴MN＝EC．
