题目内容
【题目】如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积( )
A. 由小到大 B. 由大到小 C. 不变 D. 先由小到大,后由大到小
【答案】C
【解析】试题分析:作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,构造正方形DMCN,利用正方形和等腰直角三角形的性质,通过证明△DMG≌△DNH,把△DHN补到△DNG的位置,得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积,即为定值.
试题解析:解:作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,连接DC,
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°,
DM=AD=AB,DN=BD=AB,
∴DM=DN,
∴四边形DNCN是正方形,
∴∠MDN=90°,
∴∠MDG=90°﹣∠GDN,
∵∠EDF=90°,
∴∠NDH=90°﹣∠GDN,
∴∠MDG=∠NDH,
在△DMG和△DNH中,
,
∴△DMG≌△DNH,
∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,
∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2,
∴四边形DGCH的面积=,
∵扇形FDE的面积==,
∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=(定值),
故选C.
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