Question

如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=

4

5

．
（1）求弦AB的长；
（2）CD的长；
（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字，sin53.13°≈0.8，π≈3.142）．

Answer 1

分析：（1）利用sin∠COD=

4

5

=

BE

OB

，已知OB=10，所以BE=8，所以AB=16；
（2）根据题意可知△OBE∽△OCD，根据相似三角形的比求CD的长；
（3）解直角三角形求出弧所对的圆心角，然后利用弧长公式计算．

解答：解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OEB=90°
在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×

4

5

=8
由垂径定理得AB=2BE=16
所以弦AB的长是16；（2分）

（2）方法（一）
在Rt△OEB中，OE=

OB2-BE2

=

102-82

=6．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODC=90°，
∴∠OEB=∠ODC．
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴

CD

BE

=

OD

OE

，
∴

CD

8

=

10

6

，
∴CD=

40

3

．
所以CD的长是

40

3

．（3分）
方法（二）由sin∠COD=

4

5

可得tan∠COD=

4

3

，
在Rt△ODC中，tan∠COD=

CD

OD

，
∴CD=OD•tan∠COD=10×

4

3

=

40

3

；（3分）

（3）连接OA，
在Rt△ODC中，
∵sin53.13°≈0.8
∴∠DOC=53.13°，
∴∠AOB=106.26°，
∴劣弧AB的长度l=

nπR

180

=

106.26×3.142×10

180

≈18.5．（3分）

点评：本题综合考查了解直角三角形和圆的有关知识，学生做数学题时一定要注意把各知识系统起来，才能提高做题能力．