题目内容
【题目】如图,AB是半圆的直径,过圆心O作AB的垂线,与弦AC的延长线交于点D,点E在OD上.
(1)求证:CE是半圆的切线;
(2)若CD=10,,求半圆的半径.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析: (1)连接CO,由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°,即可得出结论;
(2)设AC=2x,由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB,通过证明△AOD∽△ACB,列出等式即可.
详解:(1)证明:如图,连接CO.
∵AB是半圆的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.
∴∠DCE+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵,
∴∠OCB=∠DCE.
∴∠OCE=∠DCB=90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是半径,
∴CE是半圆的切线.
(2)解:设AC=2x,
∵在Rt△ACB中,,
∴BC=3x.
∴.
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB.
∴.
∵,AD=2x+10,
∴.
解得 x=8.
∴.
则半圆的半径为.
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