题目内容

【题目】如图,AB是半圆的直径,过圆心OAB的垂线,与弦AC的延长线交于点D,点EOD

(1)求证:CE是半圆的切线;

(2)若CD=10,求半圆的半径.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】分析: (1)连接CO,OC=OB,,利用同角的余角相等判断出∠BCO+BCE=90°,即可得出结论;
(2)AC=2x,由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB,通过证明AOD∽△ACB,列出等式即可.

详解:(1)证明:如图,连接CO.

AB是半圆的直径,

∴∠ACB=90°.

∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.

∴∠DCE+∠BCE=90°.

OC=OB,

∴∠OCB=∠B.

∴∠OCB=∠DCE.

∴∠OCE=∠DCB=90°.

OCCE.

OC是半径,

CE是半圆的切线.

(2)解:设AC=2x

∵在Rt△ACB,

BC=3x.

.

ODAB,

∴∠AOD=∠ACB=90°.

∵∠A=∠A

∴△AOD∽△ACB.

.

AD=2x+10,

.

解得 x=8.

.

则半圆的半径为.

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