Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？

（2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

【答案】（1）t=s；（2）2cm/s.

【解析】

试题分析：（1）因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；

（2）因为PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．

试题解析：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，

∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，

此时有t=22-3t，解得t=．

∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形；

（2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．

由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，

当t=3时，PD=BQ=13，BP=，

∴四边形PBQD不能成为菱形；

如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，

由题意，得，解得．

故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．