题目内容
【题目】在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m | 2 | 3 | 3 | 4 | … |
n | 1 | 1 | 2 | 3 | … |
a | 22+12 | 32+12 | 32+22 | 42+32 | … |
b | 4 | 6 | 12 | 24 | … |
c | 22﹣12 | 32﹣12 | 32﹣22 | 42﹣32 | … |
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【答案】（1）a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
【解析】
试题分析：（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据给出的数据总结即可；
（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．
解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
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