Question

【题目】将两块全等的直角三角形如图1摆放在一起，设较短直角边为1．现将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置（如图2）．

（1）求证：四边形ABC1D1是平行四边形；

（2）当四边形ABC1D1为矩形时，求矩形ABC1D1的面积；

（3）当点B的移动距离为多少时，四边形ABC1D1为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形．

【解析】

（1）通过证明AB＝C1D1，AB∥C1D1进一步证明结论即可；

（2）根据题意可得在移动过程中，四边形ABC1D1恒为平行四边形，所以只要∠BC1D1＝90°，四边形ABC1D1即为矩形，据此进一步求解即可；

（3）当点B的移动距离为时，两点重合，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进一步求解即可.

（1）证明：根据平移的性质得到：△ABD≌△CDB≌△C1D1B1，

∴AB＝C1D1．

又∵∠ABD＝∠C1D1B＝30°，

∴AB∥C1D1，

∴四边形ABC1D1是平行四边形；

（2）∵在移动过程中，四边形ABC1D1恒为平行四边形，

∴只要∠BC1D1＝90°，四边形ABC1D1即为矩形，

此时在Rt△BB1C1中，B1C1＝1，∠BB1C1＝90°，∠B1BC1＝60°，

∴BC1＝2BB1，由勾股定理得，BC1＝，

由已知得：AB＝2，

∴矩形ABC1D1的面积＝×2＝；

（3）当四边形ABC1D是菱形时，∠ABD1＝∠C1BD1＝30°，

∵B1C1＝1，

∴BB1＝＝，

∴当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形．