Question

已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2

2

的弦AB，连接PB，则PB的长为

 

．

Answer 1

分析：本题应分两种情况进行讨论：
（1）弦AB在⊙O的同旁，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PA；
（2）弦AB在⊙O的两旁，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA．

解答：解：连接OA，
（1）如图，当弦AB与PA在O的同旁时，
∵PA=AO=2，PA是⊙的切线，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
而OP=OP，
∴△POA≌△POB，
∴PB=PA=2；

（2）如图，当弦AB与PA在O的两旁，连接OA，OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=2，
∴OP=2

2

；
∵AB=2

2

，
而OA=OB=2，
∴AO⊥BO，
∴PABO是平行四边形，
∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC=1，
∴BC=

5

，
∴PB=2

5

．

点评：在解本题时应分情况进行讨论，解题过程中主要了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，对于学生分析问题的能力要求比较高．