Question

如图，已知抛物线y=x²-4x经过原点，且与x轴交于点A．
（1）求线段OA；
（2）设抛物线的顶点为B，试求△OAB外接圆圆心的坐标．

Answer 1

解：（1）当y=0时，
x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
∴OA=4，
答：线段OA=4．

（2）作抛物线的对称轴交x轴于E，
∵抛物线的顶点为B，A（4，0），O（0，0），
∴B的横坐标是2，BA=OA，△OAB的外接圆的圆心D在对称轴BE，
代入得：y=4-4×2=-4，
∴B（2，-4），
由勾股定理得：OD²=OE²+ED²，且BD=OD，
OD²=2²+（4-OD）²，
解得：OD=，
DE=BE-DB=4-=，
∴D（2，-），
答：△OAB外接圆圆心的坐标是（2，-）．
分析：（1）求出方程x²-4x=0的解即可；
（2）作抛物线的对称轴交X轴于E，得出B的横坐标是2，BA=OA，△OAB的外接圆的圆心D在对称轴BE，求出B的坐标，由勾股定理得出OD²=OE²+ED²，求出OD即可．
点评：本题主要考查对勾股定理，解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的外接圆于外心，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出OD的长是解此题的关键．