题目内容

【题目】如图,在直角坐标系中,点P的坐标是(n,0)(n>0),抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点O和点P,已知正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).

(参考公式:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ ).
(1)若当n=4时求c,b并写出抛物线对称轴及y的最大值;
(2)求证:抛物线的顶点在函数y=x2的图像上;
(3)若抛物线与直线AD交于点N,求n为何值时,△NPO的面积为1;
(4)若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),请直接写出n的取值范围.

【答案】
(1)

解:当n=4时,则P(4,0),

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点O和点P,

,解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,

∴抛物线对称轴为直线x=2,

∵﹣1<0,

∴当x=2时,y有最大值4


(2)

证明:把O、P的坐标代入抛物线解析式可得 ,解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+nx=﹣(x﹣ 2+

∴抛物线顶点坐标为( ),

在y=x2中,当x= 时,y=

∴抛物线的顶点在函数y=x2的图像上


(3)

解:在y=﹣x2+nx中,当x=2时,y=2n﹣4,

∴N点坐标为(2,2n﹣4),

∴N到x轴的距离为|2n﹣4|=2|n﹣2|,

∵P(n,0),

∴OP=n,

∴SNPO= n×2|n﹣2|=n|n﹣2|,

当△NPO的面积为1时,则有n|n﹣2|=1,

当n=2时,N、P重合,不成立,

当n>2时,则n2﹣2n=1,解得n=1+ 或n=1﹣ (此时n小于2,舍去),

当0<n<2时,则2n﹣n2=1,解得n1=n2=1,

综上可知当n的值为1+ 或1时,△NPO的面积为1


(4)

解:∵抛物线解析式为y=﹣x2+nx,

∴当过A(2,2)时,代入可得2=﹣4+2n,解得n=3,

同理当抛物线过B时可求得n= ,当抛物线过点C时可求得n=4,当抛物线过点D时可求得n=

∴n的取值范围为3≤n≤4


【解析】(1)把原点和P点坐标代入抛物线解析式可求得b、c,则可求得抛物线解析式,化为顶点式可求得其对称轴和最大值;(2)用n可表示出抛物线的解析式,则可求得其顶点坐标,代入y=x2进行验证即可;(3)可用n表示出N点坐标,则可表示出N到x轴的距离和OP的长,可表示出△NPO的面积,可得到关于n的方程,可求得n的值;(4)分别把A、B、C、D的坐标代入抛物线解析式可求得n的值,则可求得n的取值范围.

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