Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．

（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径。
∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。
∴。
∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（（4，3）。
（2）如图，设点B作⊙M的切线l交x轴于C，

∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC。
∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°。
∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO。
∴Rt△ABO∽Rt△BCO。
∴，即，解得。
∴C点坐标为（，0）。
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（，0）分别代入得
，解得。
∴直线l的解析式为y=x+6。
（3）如图，作ND⊥x轴，连接AE，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形。
∴ND=OD。∴ND∥OB。∴△ADN∽△AOB。
∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=。
∴OD=，ON=ND=。
∴N点坐标为（，）。
∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=。
∴BN=10﹣=。
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN。
∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=。
∴OE=ON+NE=+=。

（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5。
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，由切线的性质得AB⊥BC，由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以，可解得，则C点坐标为（，0），最后运用待定系数法确定l的解析式。
（3）作ND⊥x轴，连接AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10﹣=，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可。