Question

【题目】已知：在等边△ABC中， AB=， D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．

(1)判断△BDE的形状；

（2）在图2中补全图形，

①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；

②求∠APC的度数；

（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为________．（直接填写结果）

、

图2 备用

Answer 1

【答案】（1）等边三角形;

（2）①见解析;②见解析.

【解析】

（1）由D、E分别是AB、BC的中点得到，，加上为等边三角形，则，，所以，于是可判断为等边三角形；

（2）①根据旋转的性质得为等边三角形，则，，而，所以∠D1BA=∠E1BC，则可证明△ABD1≌△CBE1，所以CE1=AD1；

②由△ABD1≌△CBE1，可得到∠D1AB=∠E1CB，即可得到∠APC=∠ABC；

（3）由于，则可判断点P、D1、B、E1共圆，于是可判断当时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值.

解：

（1）等边三角形.

（2）补全图形如右图.

①CE1=AD1.

∵ △ABC和△BD1E1为等边三角形，

∴ BC=BA，BE1=BD1，∠ABC=∠D1BE1=60°.

∴ ∠ABC-∠ABE1 =∠D1BE1-∠ABE1.

即∠D1BA=∠E1BC.

∴ △ABD1≌△CBE1.

∴ CE1=AD1.

②∵ △ABD1≌△CBE1，

∴ ∠D1AB=∠E1CB.

又∵∠D1AB+∠APC=∠ABC+∠E1CB，

∴ ∠APC=∠ABC=60°.

（3）2.