题目内容

抛物线y=ax2 +bx+c的顶点为P，与x轴的两个交点为M、N(点M在点N的左侧)，△PMN的三个内角么∠P、∠M、∠N所对的边分别为p、m、n，且m =n，若关于x的方程(p -m) x2+2nx+(p+m)=0有两个相等的实数根．  
(1)试判断△PMN的形状；  
(2)当顶点P的坐标为（2，-1）时，求抛物线的解析式；  
(3)设抛物线与了轴的交点为Q.
求证：直线y=x-1将四边形MPNQ分成的两个图形的面积相等．
解：(1) △=(2n)2-4(p-m)(p+m)=4n2-4p2+4m2 =0 ，
∴4p2=4n2+4m2 ，即p2=n2+m2 ，
∴△PMN 为直角三角形．
又∵m=n ，
∴△PMN 为等腰直角三角形．
(2) 设抛物线的解析式为y=a·(x- 2)2-1 ，
∵△PAIN 为等腰直角三角形，
∴|MN|=2 ．
又∵M 、N 关于直线x=2 对称，M 在N 的左侧，
∴M(1 ，0) ，N(3 ，0) ，
将点M(1 ，0) 代入到函数解析式，
即0=a·(1-2)2 -1,
∴a=1 ．
∴y=(x-2)2-1=x2-4x+3 ．
(3) 如右图 ，直线QN 的解析式为y=3-x,
设直线y=3 -x 与直线y= x-1 的交点为K ，则有 ，
 
∴K点坐标为(2，1)．

∵

∴直线y=x-1将四边形MPNQ分成的两个图形面积相等．		  
练习册系列答案
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已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a的值为（　　）
A、±2
B、±2
2
C、2
D、-2
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MN•OPMN+OP
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若（2，0）、（4，0）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是直线（　　）
A、x=0B、x=1C、x=2D、x=3
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等腰
等腰
三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
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