Question

【题目】如图1，已知∠ABC= ,D是直线AB上的一点，AD=BC，连结DC.以DC为边，在∠CDB的同侧作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，连结AE.

(1)求证:;并判断AE和BC的位置关系，说明理由；

(2)若将题目中的条件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0<x<180)”,

①结论“”还成立吗?请说明理由；②试探索:当的值为多少时，直线AE⊥BC.

Answer 1

【答案】（1）见解析，AE∥BC，见解析；（2）①成立，见解析；②x=45°或135°时，AE⊥BC．

【解析】

(1)根据已知条件得到∠CBD=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质得到∠A=∠CBD=90°，即可得到结论；

(2)①根据三角形外角的性质得∠C=∠ADE，根据全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；

②如图2，延长EA交BC于F，根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠EAD然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；如图3时，同理得到∠ABC=135°，由此即可得答案.

(1)AE∥BC，

理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，

∴∠CBD=90°，

在Rt△BDC与Rt△AED中，

，

∴Rt△BDC≌Rt△AED，

∴∠A=∠CBD=90°，

∴∠A=∠ABC=90°，

∴AE∥BC；

(2)①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°，

∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°，

∴∠C=∠ADE，

在△BDC与△AED中，

，

∴△BDC≌△AED；

②如图2，延长EA交BC于F，

∵△BDC≌△AED，

∴∠DBC=∠EAD，

∴∠FAB=∠ABF，

∴当AE⊥BC时，

即∠AFB=90°，

∴∠FAB+∠ABF=90°，

∴∠ABC=45°，

如图3，同理得到∠ABC=135°，

∴当x=45或135°时，AE⊥BC．