题目内容

【题目】已知四边形ABCD为菱形,连接BD,点E为菱形ABCD外任一点.

(1)如图(1),若A=45°,AB=,点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点,BE,AD交于点F,求DE的长.

(2)如图(2),若2AEB=180°﹣∠BED,ABE=60°,求证:BC=BE+DE

(3)如图(3),若点E在的CB延长线上时,连接DE,试猜想BED,ABD,CDE三个角之间的数量关系,直接写出结论

【答案】(1)2.(2)证明参见解析;(3)2ABD=BED+CDE.

【解析】

试题分析:(1)首先证明AFB与EFD为等腰直角三角形,然后在ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长,从而得到DF的长,然后在RtEDF中,可求得DE的长;(2)延长DE至K,使EK=EB,连结AK.首先证明AEB=AEK,然后依据SAS证明AEB≌△AEK,由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明AKD为等边三角形,于是得到KD=BC,通过等量代换可得到问题的答案;(3)记AB与DE的交点为O.首先证明依据菱形的性质可得到ABC=2ABD,然后依据平行四边形的性质可证明CDE=BOE,最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案.

试题解析:(1)如图1所示:

四边形ABCD为菱形,AD=AB=,ABCD.∴∠A=ADE=45°ADBE,∴∠AFB=DFE=90°∴△AFB与EFD为等腰直角三角形.BF2+AF2=AB2,即:2BF2=6,BF=AF=∵△EFD为等腰直角三角形,EF=DF=ADAF=DE=EF=)=2.(2)如图2所示:延长DE至K,使EK=EB,联结AK.

2AEB=180°﹣∠BED,∴∠BED=180°﹣2AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK.∴∠AEB=AEK.在AEB和AEK中∴△AEB≌△AEK.∴∠K=ABE=60°,Ak=AB.又AB=AD,AK=AD.∴△AKD为等边三角形.KD=AD.KD=BC.KD=KE+DE,CB=EB+DE.(3)如图3所示:记AB与DE的交点为O.

四边形ABCD为菱形,ABDC,ABC=2ABD.∴∠CDE=BOE.∵∠ABC=BED+EOB,2ABD=BED+CDE.

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