Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE=

1

2

；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是

 

．

Answer 1

分析：①由于∠A所对弧的度数为120°，根据圆周角定理可知∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，即cos∠BFE=

1

2

；故正确；
②若BC=BD，需满足一个条件：∠BCD=∠BDC，且看这两个角的表达式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA；联立两式，可得∠DBA=20°；此时∠ABC=40°，而没有任何条件可以说明∠ABC的度数是40°，即可得出本选项错误．
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，因此F是△ABC的内心，可过F作AB、AC的垂线，通过证构建的直角三角形全等，得出FE=FD的结论，因结论正确；
④若BF=2DF，则F是△ABC的重心，即三边中线的交点，而题目给出的条件是F是△ABC的内心，显然两者的结论相矛盾，因此不正确．
所以本题正确的结论：①③．

解答：解：∵∠A所对弧的度数为120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=

1

2

（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=

1

2

，
∴即cos∠BFE=

1

2

；故①正确；
∵∠BDC=∠A+

1

2

∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA
应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此时∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，
故②错误；
∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB
则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确．
因此本题正确的结论为①③．
故答案为：①③．

点评：本题利用了三角形内角和定理，余弦的概念，角的平分线的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．