Question

如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的交AC于点E，F是上的点，且AF＝BF．

（1）求证：BC是的切线；
（2）若sinC=，AE=，求sinF的值和AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠C=∠DBC，
∴∠DBA﹢∠DBC＝.
∴AB⊥BC.
又∵AB是的直径，
∴BC是的切线.……………………………………2分
（2）解：如图，连接BE，
∵AB是的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBC＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠EBC＝90°.
∴∠C＝∠ABE.
又∵∠AFE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠C.
∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.
∴sin∠AFE＝. ………………………………3分
连接BF，
∴.
在Rt△ABE中，. …………………4分
∵AF＝BF，
∴. ……………………………………5分

（1）AB是直径．证明AB⊥BC即可．
（2）连接BE，证得∠AFE＝∠C. 即可求出sinF的值，连接BF，通过解直角三角形ABE求得BF，即可