题目内容
【题目】已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示）．
（1）求二次函数y＝﹣x2+x+6的顶点坐标和x轴的交点坐标；
（2）直接写出新函数对应的解析式；
（3）当直线y＝﹣x+m与新图象有四个交点时，求m的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为（
，
），和x轴的交点坐标（﹣2，0），（3，0）；（2）当x＜﹣2或x＞3时，y＝﹣x2+x+6；当﹣2≤x≤3时，y＝x2﹣x﹣6；（3）m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
【解析】
（1）令y=0，解方程﹣x2+x+6=0，可得与x轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），故可得出新函数对应的解析式；
（3）求出直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
（1）如图，当y=0时，即﹣x2+x+6=0，
解得：x1=﹣2，x2=3，
则与x轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+x+6=﹣（x
）2
，
∴顶点坐标为（，）；
（2）将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
故当x＜﹣2或x＞3时，y=﹣x2+x+6；
当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣x﹣6；
（3）当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得：m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，即方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有两个相等的实数解，整理得：x2﹣6﹣m=0，
则△=-4（-6-m）=0
解得：m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
