Question

（2013•婺城区二模）如图，抛物线y=x²-2x+

3

4

与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（B点在A点的右侧）．若点P是抛物线对称轴上的一动点，则△OCP的面积为

3

8

；若点P（1，a）是抛物线对称轴上的一动点，且满足△PBC的面积为2，则a的值为

35

12

，-

29

12

．

Answer 1

分析：根据抛物线的对称轴，可得出△OCP的边OC上的高，继而可计算△OCP的面积；由B、C坐标求出直线BC解析式，设BC与抛物线交点为D，用含a的式子表示出DP，根据S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB，可得出关于a的方程，解出即可．

解答：解：∵抛物线解析式为y=x²-2x+

3

4

，
∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为（0，

3

4

），
∴S_△OCP=

1

2

×

3

4

×1=

3

8

；
令x²-2x+

3

4

=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
故点A的坐标为（

1

2

，0），点B的坐标为（

3

2

，0），
设直线BC与抛物线对称轴交于点D，其解析式为y=kx+b，
将点B、点C坐标代入可得：

3 2 k+b=0 b= 3 4

，
解得：

k=- 1 2 b= 3 4

，
故直线BC的解析式为y=-

1

2

x+

3

4

，
则点D的坐标为（1，

1

4

），PD=|a-

1

4

|，
则S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB=

1

2

PD×OM+

1

2

PD×BM=

1

2

PD×OB=

1

2

|a-

1

4

|×

3

2

=2，
解得：a=

35

12

或a=-

29

12

．
故答案为：

3

8

，

35

12

、-

29

12

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数解析式、抛物线与x轴的交点及三角形的面积，最后一空的关键是用含a的式子表示出△PBC的面积，难度较大．