Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=AD=8，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD是直径，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）证明：四边形BFCD是菱形．理由如下：

证明：∵AD是直径，AB=AC，

∴AD⊥BC，BE=CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中，

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF=BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，

∴CE2=DEAE，

设DE=x，

∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10﹣x），

解得：x=4，

在Rt△CED中，

CD= =4 ．

【解析】（1）首先证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）四边形BFCD的形状是菱形，首先证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对菱形的判定方法的理解，了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．