题目内容
【题目】如图（1），直线
交x轴于点A，交
轴于点C（0，4），抛物线
过点A，交y轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图（2），将△BDP绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为
.（2）
或
.（3）满足条件的点P的坐标为（
， 
）、（
， 
）或（
、
）.
【解析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．
解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣
x+n上，
∴n=4，∴y=﹣
x+4，
令y=0，∴x=3，∴A（3，0），
∵抛物线y=
x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．
∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，
∴b=﹣
，
∴抛物线解析式为y=
x2﹣
x﹣2，
（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．
∴P（m， 
m2﹣
m﹣2），
∴BD=|m|，PD=|
m2﹣
m﹣2+2|=|
m2﹣
m|，
∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，
∴BD=PD，
∴|m|=|
m2﹣
m|，
∴m=0（舍），m=
，m=
，
∴PD=
或PD=
；
（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP'=
，cos∠PBP'=
，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，
ND'﹣MD'=2，
∴
（
m2﹣
m）﹣（﹣
m）=2，
∴m=
（舍），或m=﹣
，
如图2，
ND'+MD'=2，
∴
（
m2﹣
m）+
m=2，
∴m=
，或m=﹣
（舍），
∴P（﹣
， 
）或P（
， 
），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，
∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
∵P′N=BM，
∴
（
m2﹣
m）=
m，
∴m=
，
∴P（
， 
）．
∴P（﹣
， 
）或P（
， 
）或P（
， 
）．
“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．
