Question

附加题：如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），点P是直线y=-

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x+4在第一象限上的一点，O是原点．
（1）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△OPA的面积等于OA与点P的纵坐标的乘积的一半，所以S=

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 ×y×4=2y=-x+8；
（2）根据题中条件，保持OP=AP，则过P做OA垂线PD，则D坐标为（2，0），可以算出P点坐标．

解答：解：（1）过P点作PD⊥x轴于D
∵P点在直线y=-

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x+4上第一象限内的一点，且坐标为（x，y）
∴PD=|y|=|-

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x+4|=-

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x+4（2分）
∵A点的坐标为（4，0）∴OA=4
∴△OPA的面积为
S=

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OA×PD=

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×4×(-

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x+4)=-x+8(0＜x＜8)．（4分）

（2）假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D
当OP=AP时，则OD=AD=

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OA=2，
∴PD=-

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×2+4=3
∴在第一象限存在1个点P（2，3），使OP=AP．（4分）

点评：本题主要考查对于一次函数图形的应用以及等腰三角形性质的掌握．