Question

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，分别交OA、OB于点E、F．若△ABO腰上的高BD等于底边AB的一半且AB=4

3

．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求弧ECF的长；
（3）把扇形OEF卷成一个无底的圆锥，则圆锥的底面半径是多少？

Answer 1

分析：（1）由三角形ABD为直角三角形，且BD等于AB的一半，得到∠A为30°，根据OA=OB，利用等边对等角得到∠A=∠B，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数即可；
（2）由C为AB的中点，利用三线合一得到OC垂直于AB，根据AB的长求出AC的长，在直角三角形AOC中，利用锐角三角函数定义求出OC的长，即为圆的半径，利用弧长公式即可求出弧ECF的长；
（3）（2）求出弧ECF的长，即为圆锥底面圆的周长，利用圆的周长公式求出圆锥的底面半径即可．

解答：解：（1）在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°；

（2）∵OA=OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，AC=BC=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△AOC中，tanA=

OC

AC

，即tan30°=

OC

2 3

，
∴OC=2，
∴弧ECF长为

120π×2

180

=

4π

3

；

（3）∵弧ECF的长即为圆锥的底面周长，
∴圆锥的底面半径r=

4π 3

2π

=

2

3

．

点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆锥的性质，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．