题目内容
（2013•松江区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，点D在边AC上，△ABD沿BD翻折，点A与BC边上的点E重合，过点B作BG∥AC交AE的延长线于点G，交DE的延长线于点F．（1）当∠ABC=60°时，求CD的长；
（2）如果AC=x，AD=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结CG，如果∠ACB=∠CGB，求AC的长．
分析：（1）通过解Rt△ABC求得AC=4
；然后由折叠的性质得到∠ABD=30°，则AD=ABtan30°=
，故CD=AC-AD=
；
（2）易证△CED∽△CAB，则该相似三角形的对应边成比例：
=
；根据折叠的性质得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，又由勾股定理知BC=
=
，所以，把相关线段的长度代入比例式可以求得y=
（x＞0）；
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．通过△ABD∽△BGA的对应边成比例得到
=
，即
=
，解得x=2
（负值已舍），即AC=2
．
| 3 |
4
| ||
| 3 |
8
| ||
| 3 |
（2）易证△CED∽△CAB，则该相似三角形的对应边成比例：
| ED |
| AB |
| CE |
| CA |
| AB2+AC2 |
| 16+x2 |
4
| ||
| x |
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．通过△ABD∽△BGA的对应边成比例得到
| AB |
| BG |
| AD |
| BA |
| 4 |
| 2x |
| ||||
| 4 |
| 5 |
| 5 |
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=ABtan60°=4
．
由翻折得∠ABD=30°，得AD=ABtan30°=
，
∴CD=AC-AD=
；
（2）由翻折得∠BED=∠BAD=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CAB，
又∵∠DCE=∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴
=
，
∵根据折叠的性质得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，
又由勾股定理知BC=
=
，
∴
=
，
∴y=
（x＞0）；
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．
∵BG∥AC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠CGB，
∴∠2=∠CGB，
∴CB=CG．
∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x．
∵AE⊥BD，
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°，
∴∠5=∠7．
又∵∠BAC=∠ABG=90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴
=
，即
=
，
解得x=2
（负值已舍），即AC=2
．
∵AB=4，
∴AC=ABtan60°=4
| 3 |
由翻折得∠ABD=30°，得AD=ABtan30°=
4
| ||
| 3 |
∴CD=AC-AD=
8
| ||
| 3 |
（2）由翻折得∠BED=∠BAD=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CAB，
又∵∠DCE=∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴
| ED |
| AB |
| CE |
| CA |
∵根据折叠的性质得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，
又由勾股定理知BC=
| AB2+AC2 |
| 16+x2 |
∴
| y |
| 4 |
| ||
| x |
∴y=
4
| ||
| x |
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．
∵BG∥AC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠CGB，
∴∠2=∠CGB，
∴CB=CG．
∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x．
∵AE⊥BD，
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°，
∴∠5=∠7．
又∵∠BAC=∠ABG=90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴
| AB |
| BG |
| AD |
| BA |
| 4 |
| 2x |
| ||||
| 4 |
解得x=2
| 5 |
| 5 |
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，翻转折叠以及待定系数法求一次函数解析式．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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