Question

已知如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EH⊥AB于H．求证：EC=CF=EH．

Answer 1

分析：先由已知证明△ACE≌△AHE，得∠AEC=∠AEH，再由CD⊥AB，EH⊥AB推出CD∥EH得∠HEF=∠CFE，所以得∠CEF=∠CFE，从而证得CF=CE．

解答：证明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EH⊥AB，
∴EH=CE，
∵∠ACE=∠AHE=90°，
∴在Rt△ACE和Rt△AHE中

AE=AE CE=EH

∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）
∴∠AEC=∠AHG，
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EH，
∴∠HEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
即EC=CF=EH．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．