题目内容

【题目】如图,把等边△ABC沿DE翻折,使点A落在BC上的F处,给出以下结论:

①∠BDF=∠EFC;

②BDCE=BFCF;

③SBDF+SEFC=

BF:CF=1:2,则AD:AE=4:5.其中正确的结论有_____.(填序号)

【答案】①②④.

【解析】

根据∠CFE+∠DFE=120°,∠BDF+∠DFB=120°,即可得到∠BDF=∠EFC;②根据△BDF∽△CFE,可得即可得BDCE=BFCF;③当点FBC的中点时,SBDF+SEFC=成立,当点E与点C重合,点F与点B重合时,SBDF+SEFC=0;④设BF=1,CF=2,则BC=3=AB=AC,设DF=x=AD,则BD=3﹣x,依据,可得CE=,再根据相似三角形的对应边成比例,即可得到,进而得到AD:AE=4:5.

①由折叠可得,∠DFE=∠A=60°,

∴∠CFE+∠DFE=120°,

∵∠B=60°,

∴∠BDF+∠DFB=120°,

∴∠BDF=∠EFC,故①正确;

②∵∠B=∠C=60°,∠BDF=∠EFC,

∴△BDF∽△CFE,

BDCE=BFCF,故②正确;

③当点FBC的中点时,SBDF+SEFC=成立,

当点E与点C重合,点F与点B重合时,SBDF+SEFC=0,

此时,SBDF+SEFC=不成立,故③错误;

④设BF=1,CF=2,则BC=3=AB=AC,

DF=x=AD,则BD=3﹣x,

,可得

解得CE=

∴AE=3﹣=EF,

,可得

解得x=

∴AD:AE=4:5,故④正确.

故答案为:①②④.

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