题目内容
【题目】如图,把等边△ABC沿DE翻折,使点A落在BC上的F处,给出以下结论:
①∠BDF=∠EFC;
②BDCE=BFCF;
③S△BDF+S△EFC=;
④若BF:CF=1:2,则AD:AE=4:5.其中正确的结论有_____.(填序号)
【答案】①②④.
【解析】
①根据∠CFE+∠DFE=120°,∠BDF+∠DFB=120°,即可得到∠BDF=∠EFC;②根据△BDF∽△CFE,可得,即可得BDCE=BFCF;③当点F为BC的中点时,S△BDF+S△EFC=成立,当点E与点C重合,点F与点B重合时,S△BDF+S△EFC=0;④设BF=1,CF=2,则BC=3=AB=AC,设DF=x=AD,则BD=3﹣x,依据,可得CE=,再根据相似三角形的对应边成比例,即可得到,进而得到AD:AE=4:5.
①由折叠可得,∠DFE=∠A=60°,
∴∠CFE+∠DFE=120°,
∵∠B=60°,
∴∠BDF+∠DFB=120°,
∴∠BDF=∠EFC,故①正确;
②∵∠B=∠C=60°,∠BDF=∠EFC,
∴△BDF∽△CFE,
∴ ,
即BDCE=BFCF,故②正确;
③当点F为BC的中点时,S△BDF+S△EFC=成立,
当点E与点C重合,点F与点B重合时,S△BDF+S△EFC=0,
此时,S△BDF+S△EFC=不成立,故③错误;
④设BF=1,CF=2,则BC=3=AB=AC,
设DF=x=AD,则BD=3﹣x,
由,可得 ,
解得CE=,
∴AE=3﹣=EF,
由,可得 ,
解得x= ,
∴,
∴AD:AE=4:5,故④正确.
故答案为:①②④.
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