题目内容
已知:如图,在正方形ABCD中,点E是边AD的中点,联结BE,过点A作,分别交BE、CD于点H、F,联结BF.
(1)求证:BE=BF;
(2)联结BD,交AF于点O,联结OE.求证:
(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:
(1)根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD,∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°,求出∠ABH=∠HAE,证△ABE∽△DAF,得出比例式,求出AE=DF,CF=AE,证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可;
(2)根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB,证△DEO≌△DFO,推出∠DEO=∠DFO,根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA,即可得出答案.
试题解析:
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA=BC=CD,∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°,
∴∠BAH+∠HAE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠AHB=90°,
即∠BAH+∠ABH=90°,
∴∠ABH=∠HAE,
又∵∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAF,
∴,
∴AE=DF,
∵点E是边AD的中点,
∴点F是边DC的中点,
∴CF=AE,
在Rt△ABE与Rt△CBF中,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),
∴BE=BF.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
在△DEO与△DFO中,
∴△DEO≌△DFO(SAS),
∴∠DEO=∠DFO,
∵△ABE∽△DAF,
∴∠AEB=∠DFA,
∴∠AEB=∠DEO.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
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