题目内容

已知:如图,在正方形ABCD中,点E是边AD的中点,联结BE,过点A,分别交BE、CD于点H、F,联结BF.

(1)求证:BE=BF

(2)联结BD,交AF于点O,联结OE.求证:

 

(1)见解析(2)见解析.

【解析】

试题分析:

(1)根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD,BAD=ADF=BCF=90°,求出ABH=HAE,证ABE∽△DAF,得出比例式,求出AE=DF,CF=AE,证出RtABERtCBF即可;

(2)根据正方形性质求出ADB=CDB,证DEO≌△DFO,推出DEO=DFO,根据ABE∽△DAF推出AEB=DFA,即可得出答案.

试题解析:

证明:(1)四边形ABCD是正方形,

AB=DA=BC=CD,BAD=ADF=BCF=90°,

∴∠BAH+HAE=90°,

AFBE,

∴∠AHB=90°,

BAH+ABH=90°,

∴∠ABH=HAE,

∵∠BAE=ADF,

∴△ABE∽△DAF,

AE=DF,

点E是边AD的中点,

点F是边DC的中点,

CF=AE,

在RtABE与RtCBF中,

RtABERtCBF(HL),

BE=BF.

(2)四边形ABCD是正方形,

DB平分ADC,

∴∠ADB=CDB,

DEO与DFO中,

∴△DEO≌△DFO(SAS),

∴∠DEO=DFO,

∵△ABE∽△DAF,

∴∠AEB=DFA,

∴∠AEB=DEO.

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

 

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