题目内容

已知：关于x的一元二次方程 $数学公式$ ．
（1）求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x₁和x₂，满足 $数学公式$ ，且x₁＜-x₂，求m的值．

解：（1）证明：△=m²-4×1× $\text{[math]}$ =m²-2m+8=（m-1）²+7．
∵（m-1）²≥0
∴（m-1）²+7＞0，
∴△＞0
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x₁和x₂是方程x²+mx+ $\text{[math]}$ =0的两个实数根，
∴ $\text{[math]}$ +mx₁+ $\text{[math]}$ =0，
x1+x₂=-m，x₁+x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =-mx₁- $\text{[math]}$ ．
∵16 $\text{[math]}$ +4x₁x₂=16mx²+25
∴16（-mx₁- $\text{[math]}$ ）+4x₁x₂-16mx²-25=0，
整理，得-16m（x₁+x₂）+4x₁x₂-8m+7=0
-16m（-m）+4× $\text{[math]}$ -8m+7=0
16m²-6m-1=0
（2m-1）（8m+1）=0，m= $\text{[math]}$ 或m=- $\text{[math]}$
∵x₁＜-x₂∴x₁+x₂=-m＜0．
∴m＞0，
∴m= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先利用含m的代数式表示出判别式△，然后把△进行配方，即可判断；
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系以及方程的根的定理，把 $\text{[math]}$ 变化成关于m的方程，解方程即可求得m的值．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用含m的代数式正确对 $\text{[math]}$ 进行变形是关键．

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