题目内容
【题目】(本题7分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,过点A作AD⊥CA,垂足为A,且AD=AC,AB、DE交于点F.
(1)判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)连接BD、BE,若设BC=a,AC=b,AB=c,请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理.
【答案】(1)AB=DE,AB⊥DE.理由见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义可证得∠DAE=∠ACB=90°,然后根据ASA可证△ABC≌△DEA,从而得证AB=DE,且∠3=∠1,然后根据直角三角形的内角和等量代换可证得AB⊥DE;
(2)根据三角形的面积和四边形的面积,可知S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE,S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2+b2可得证符合勾股定理的逆定理.
试题解析:(1)解:AB=DE, AB⊥DE.
如图2,∵AD⊥CA,∴∠DAE=∠ACB=90°,
∵AE=BC,∠DAE=∠ACB,AD=AC,∴△ABC≌△DEA,∴AB=DE,
∠3=∠1,∵∠DAE=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,
∴∠AFE=90°,∴AB⊥DE.
(2)如图2,∵S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2,
S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2+b2,
∴a2+b2=c2,∴a2+b2=c2.
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