Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O顺时针方向旋转α度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是

矩形

，当α=90°时，

BP

PQ

的值是

4：3

．
（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，则

BP

PQ

=

7

15

．
②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，则△OPB?的面积为

75

4

．

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．

解答：解：（1）四边形OABC的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即 4：3．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴

CP

A′B′

=

OC

OA′

，即

CP

6

=

6

8

，
∴CP=

9

2

，BP=BC-CP=

7

2

．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴

CQ

C′Q

=

B′C

B′C′

，即

CQ

6

=

10-6

8

，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴

BP

PQ

=

7 2

9 2 +3

=

7

15

；
②在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；
故填：矩形，

4

3

，

7

15

，

75

4

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．