题目内容

【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.

(1)求证:△ABE≌△CAF

(2)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,试探索EF、 BE、CF三条线段的关系;

(3)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求FE长.

【答案】(1)见解析;(2)EF=BE=CF.理由见解析;(3)EF的长为7.

【解析】

(1)由条件可以得出∠BAE=ACF,AEB=CFA,就可以得出ABE≌△CAF;

(2)由ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF;

(3)通过证明三角形ABE≌△CAF就可以得出结论.

(1)BAE+CAF=90°.

BEEF,CFEF,

∴∠AEB=CFA=90°

∴∠FAC+ACF=90°

∴∠BAE=ACF.

ABECAF

BAE=ACFAEB=CFAAB=CA

∴△ABE≌△CAF(AAS);

(2)EF=BE=CF.理由:

证明:∵△ABE≌△CAF,

AE=CF,BE=AF.

EF=AE+AF,

EF=CF+BE;

(3)如图2,∵∠BAC=90°

∴∠BAF+CAF=90°.

BEEF,CFEF,

∴∠AEB=CFA=90°

∴∠FAC+ACF=90°

∴∠BAE=ACF.

ABECAF中,

BAE=ACFAEB=CFAAB=CA,

∴△ABE≌△CAF(AAS),

BE=AF,AE=CF.

EF=AFAE,

EF=BECF=103=7.

答:EF的长为7.

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