题目内容
【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.
(1)求证:△ABE≌△CAF
(2)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,试探索EF、 BE、CF三条线段的关系;
(3)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求FE长.
【答案】(1)见解析;(2)EF=BE=CF.理由见解析;(3)EF的长为7.
【解析】
(1)由条件可以得出∠BAE=∠ACF,∠AEB=∠CFA,就可以得出△ABE≌△CAF;
(2)由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF;
(3)通过证明三角形△ABE≌△CAF就可以得出结论.
(1)BAE+∠CAF=90°.
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠AEB=∠CFA=90°,
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中
∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA
∴△ABE≌△CAF(AAS);
(2)EF=BE=CF.理由:
证明:∵△ABE≌△CAF,
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE+AF,
∴EF=CF+BE;
(3)如图2,∵∠BAC=90°,
∴∠BAF+∠CAF=90°.
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠AEB=∠CFA=90°,
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,
∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴BE=AF,AE=CF.
∵EF=AFAE,
∴EF=BECF=103=7.
答:EF的长为7.

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