Question

如图，直线y=x与抛物线y=ax²（a＞0）在y轴右侧依次交于A₁，A₂，A₃…A_n，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n（n为正整数），其中经过点A₁的抛物线为y=x²，则过点An的抛物线为（　　）

• A．y=

  1

  n

  x 2
• B．y=

  1

  n-1

  x²
• C．y=nx²
• D．y=（n-1）x²

Answer 1

分析：分别作A₁B₁垂直x轴，A₂B₂垂直x轴，…A_nB_n垂直x轴，先根据题意求出A1的坐标，从而利用平行线分线段成比例的知识，可求出y=x与抛物线交点坐标的特点，继而代入抛物线方程即可得出答案．

解答：解：分别作A₁B₁垂直x轴，A₂B₂垂直x轴，…A_nB_n垂直x轴，

∵经过点A₁的抛物线为y=x²，直线为y=x，
∴可得点A₁坐标为（1，1），A₁B₁=1，OB₁=1，
又∵A₁B₁∥A₂B₂∥A_nB_n，OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n，
∴可得A₁B₁=1，A₂B₂=2，…A_nB_n=n，
故可得抛物线经过点（n，n），代入抛物线y=ax²（a＞0），可得a=

1

n

，
故抛物线方程为：y=

1

n

x²．
故选A．

点评：此题属于二次函数的综合题，求出A₁的坐标，利用平行线分线段成比例的知识求出A_n的坐标是解答本题的关键，难度一般．