题目内容
【题目】如图,在等腰直角三角形MNC中.CN=MN= ,将△MNC绕点C顺时针旋转60°,得到△ABC,连接AM,BM,BM交AC于点O.
(1)∠NCO的度数为;
(2)求证:△CAM为等边三角形;
(3)连接AN,求线段AN的长.
【答案】
(1)15°
(2)证明:∵∠ACM=60°,CM=CA,
∴△CAM为等边三角形
(3)解:连接AN并延长,交CM于D,
∵△MNC是等腰直角三角形,△ACM是等边三角形,
∴NC=NM= ,CM=2,AC=AM=2,
在△ACN和△AMN中,
,
∴△ACN≌△AMN(SSS),
∴∠CAN=∠MAN,
∴AD⊥CM,CD= CM=1,
∴Rt△ACD中,AD= CD= ,
等腰Rt△MNC中,DN= CM=1,
∴AN=AD﹣ND= ﹣1.
【解析】(1)由旋转可得∠ACM=60°,再根据等腰直角三角形MNC中,∠MCN=45°,运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数;(2)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可;(3)根据△MNC是等腰直角三角形,△ACM是等边三角形,判定△ACN≌△AMN,再根据Rt△ACD中,AD= CD= ,等腰Rt△MNC中,DN= CM=1,即可得到AN=AD﹣ND= ﹣1.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°,以及对等边三角形的判定的理解,了解三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
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