Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（2一m）x+3-6m=0．
（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根x_l和x₂满足x_l+x₂=m，求m的值．

Answer 1

（1）证明：方程根的判别式
△=[2（2-m）]²-4×1×（3-6m）=4（4-4m+m²）-4（3-6m）
=4（4-4m+m²-3+6m）=4（1+2m+m²）=4（m+1）²
∵无论m为何实数，4（m+1）²≥0恒成立，即△≥0恒成立．
∴无论m取何实数，方程总有实数根；

（2）解：由根与系数关系得x₁+x₂=-2（2-m）
由题知x₁+x₂=m，
∴m=-2（2-m）
解得m=4．
分析：（1）若方程总有实数根，则方程的判别式≥0，计算可得．
（2）由题知x₁+x₂=m，得到m=-2（2-m），解方程得m值．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也涉及到了二次函数的判别式．