题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C(0,3),tanOAC=

(1)求抛物线的解析式;

(2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HNx轴于点N,交抛物线于点P,求线段PH的最大值;

(3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M使点E恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2x+3;(2);(3)点M的坐标是(4,0),(),()或(2,0).

【解析】

试题分析:(1)由点C的坐标以及tanOAC=可得出点A的坐标,结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式,设N(x,0)(4<x<0),可找出H、P的坐标,由此即可得出PH关于x的解析式,利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题;(3)过点M作MKy轴于点K,交对称轴于点G,根据角的计算依据正方形的性质即可得出MCK≌△MEG(AAS),进而得出MG=CK.设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标,由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程,解方程即可求出x值,将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标.

试题解析:(1)C(0,3),

OC=3,

tanOAC=

OA=4,

A(4,0).

把A(4,0)、C(0,3)代入y=ax2+2ax+c中,

,解得:

抛物线的解析式为y=x2x+3.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(4,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,

得:,解得:

直线AC的解析式为y=x+3.

设N(x,0)(4<x<0),则H(x, x+3),P(x,x2x+3),

PH=x2x+3x+3)=x2x=(x2)2+

∵﹣<0,

PH有最大值,

当x=2时,PH取最大值,最大值为

(3)过点M作MKy轴于点K,交对称轴于点G,则MGE=MKC=90°

∴∠MEG+EMG=90°

四边形CMEF是正方形,

EM=MC,MEC=90°

∴∠EMG+CMK=90°

∴∠MEG=CMK.

MCK和MEG中,

∴△MCK≌△MEG(AAS),

MG=CK.

由抛物线的对称轴为x=1,设M(x,x2x+3),则G(1,x2x+3),K(0,x2x+3),

MG=|x+1|,CK=|x2x+33|=|x2x|=|x2+x|,

|x+1|=|x2+x|,

x2+x=±(x+1),

解得:x1=4,x2=,x3=,x4=2,

代入抛物线解析式得:y1=0,y2=,y3=,y4=0,

点M的坐标是(4,0),(),()或(2,0).

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